物理現象は，ある物理量の時間的な変化によって生じ，これを表現するにはその物理量の導関数が重要です．特に\[\frac{dx}{dt}=kx\]のように，未知の関数の導関数が含まれる方程式を微分方程式といい，微分方程式の解として未知の関数を求めることができます．我々が手で解きうる微分方程式の解法としては，次の4種類があげられますが，普通はコンピュータを用いた数値的な解析によることになります．
（1）一階線形同次微分方程式
微分方程式のうち\[\frac{dx}{dt}+p(t)x=0\]と表せるものを，一階線形同次微分方程式といいます．これを解くために，まず変数を\(x\)と\(t\)で分離することを考えます．すなわち\[\frac{1}{x}dx=-p(t)dt\]というように，左辺と右辺で変数を分離すると，それぞれで\[\int \frac{1}{x}dx=-\int p(t)dt+C\qquad ∴\log x=-\int p(t)dt+C \qquad （Cは積分定数）\]と積分することができ，これより\[x=Cε^{-\int p(t)dt} \qquad （Cは積分定数）\]として，未知の関数\(x\)を求めることができます．いま得られた解には積分定数が含まれ，その定数分の未定性があります．これを特に一般解といいます．そして，一般解を確定させるには，初期条件より積分定数を定めることが必要で，こうして得られた解は特殊解といいます．すなわち，一般解は無数の特殊解の集合を表していると考えられます．
（2）一階線形非同次微分方程式
微分方程式のうち\[\frac{dx}{dt}+p(t)x=q(t)\]と表せるものを，二階線形非同次微分方程式といいます．これを解くために,まず同次式の一般解\[x=Cε^{-\int p(t)dt} \qquad （Cは積分定数）\]を求めます．次に，積分定数\(C\)を\(t\)の関数\(C(t)\)と考え与式に代入すると\[\frac{d}{dt}(C(t)ε^{-\int p(t)dt})+p(t)C(t)ε^{-\int p(t)dt}=q(t) \qquad \frac{d}{dt}C(t)=q(t)ε^{\int p(t)dt} \qquad C(t)=\int q(t)ε^{\int p(t)dt}dt+C’（C’は積分定数）\]として\(C(t)\)を求めることができる．よって，同次式の一般解に代入すれば\[x=\{\int q(t)ε^{\int p(t)dt}dt+C’\}ε^{-\int p(t)dt} （C’は積分定数）\]として未知の関数\(x\)を求めることができます．
（3）二階線形同次微分方程式
微分方程式のうち\[\frac{d^2x}{dt^2}+2γ\frac{dx}{dt}+ω^2=0\]と表せるものを，二階線形同次微分方程式といいます．これを解くために，まず解を\[x=ε^λt\]とおき，これを与式に代入すれば\[λ^2+2γλ+ω^2=0\]を得ます．これを特性方程式といい，この方程式の解に応じて次のように与式の解が分類されます．なお，\(C_1,C_2\)を積分定数とします．
① \(γ>ω\)のとき（実数解\(λ=a_1,a_2\)をもつとき）
\[x=C_1ε^{a_1t}+C_2ε^{a_2t}\]
② \(γ=ω\)のとき（重解\(λ=b\)をもつとき）
\[x=(C_1+C_2t)ε^bt\]
③\(γ<ω\)のとき（虚数解\(λ=c+jd\)をもつとき）
\[x=C_1ε^{ct}\sin dt+C_2ε^{ct}\cos dt\]
（4）二階線形非同次微分方程式
微分方程式のうち\[\frac{d^2x}{dt^2}+2γ\frac{dx}{dt}+ω^2=r(t)\]と表せるものを，二階線形非同次微分方程式といいます．この一般解は\[x=二階同次式の一般解+二階非同次式の特殊解\]となります．