物理学や工学では，現象を表現するために様々な関数を用います．しかし，それらを解析する際，関数そのままの形では取り扱いが難しいことが往々にしてあります．ここでは，そのような関数を級数という比較的取り扱いやすい形式に展開する方法について考えてみます．
いま，ある関数\(f(x)\)が\[f(x)=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+・・・+a_kx^k+・・・\]というような級数に展開できたとします．ただし，\(f(x)\)は何回でも微分をすることができるものとします．この展開を求めるには，各項の係数\(a_0，a_1，a_2，・・・\)を求めればよいので，順次これらの係数を求めていくことにします．まず，与式に\(x=0\)を代入すれば\[f(0)=a_0\]より，係数a_0が求まりました．次に，与式の両辺を\(x\)で繰り返し微分していいくと\[f(x)^{(1)}=a_1+2a_2x^1+3a_3x^2+4a_4x^3・・・+ka_kx^{k-1}+・・・\]\[f(x)^{(2)}=2a_2+3\cdot2a_3x^1+4\cdot3a_4x^2+・・・+k(k-1)a_kx^{k-2}+・・・\]\[f(x)^{(3)}=3\cdot2a_3+4\cdot3\cdot2a_4x^1・・・+k(k-1)(k-2)a_kx^{k-3}+・・・\]\[\vdots\]となり，それぞれ\(x=0\)とすれば\[f(0)^{(1)}=a_1=1!a_1\]\[f(0)^{(2)}=2a_2=2!a_2\]\[f(0)^{(3)}=3\cdot2a_3=3!a_3\]\[\vdots\]より，各項の係数を求めることができます．したがって，与式は\[f(x)=f(0)+\frac{f(0)^{(1)}}{1!}x^1+\frac{f(0)^{(2)}}{2!}x^2+\frac{f(0)^{(3)}}{3!}x^3+・・・+\frac{f(0)^{(k)}}{k!}x^k+・・・\]と展開することができます．